این صورت مسئله را درنظر بگیرید: فرض کنید مشتری برای دریافت وامی از بانک، ابتدا باید سپرده‌ای معادل ( x ) تومان نزد بانک بگذارد. سپس بانک به همان اندازه یعنی ( x ) تومان دیگر به او پرداخت می‌کند (شاید با یک وقفه زمانی که ما آنرا نادیده می‌گیریم)، و مجموع وام مشتری برابر می‌شود با ( 2x ). بازپرداخت به‌صورت ماهانه و طی چند سال انجام می‌شود. علاوه‌بر بازپرداخت اصل، بانک کارمزدی (مثلاً ۴ درصد سالانه) روی وام دریافت می‌کند. در انتهای دوره سپرده مشتری به او بازگردانده می‌شود و پرداخت دیگری به مشتری در طول دوره وجود ندارد.
این پرسش مشخص را در نظر بگیرید: نرخ مؤثر بازده بانک چقدر است؟
خب، در همین ابتدا باید مفهوم «نرخ مؤثر» را مشخص کنیم. من با مفهوم نرخ بازده داخلی (IRR) بحث را جلو می‌برم. ایرادهایی دارد، اما قابل فهم است. مهم‌ترین بحث شاید این باشد که در IRR فرض می‌کنیم تمام سرمایه‌گذاری‌ها در همین نرخ است.
بیایید در ابتدا به صورت شهودی بحث کنیم که چرا در عمل IRR می‌تواند نسبتاً زیاد باشد؟ سرمایه‌ای که بانک درگیر می‌کند ( x ) است، اگرچه ( 2x ) وام پرداخت می‌کند. مشتری شروع به بازپرداخت قسط‌ها می‌کند. فرض کنیم اصل و کارمزد با هم در قسط آمده‌اند (هرچند در عمل اینگونه نیست و معمولاً همان کارمزد تسویه می‌شود!). به هر حال، با هر قسط، بخشی از اصل بدهی بازگردانده می‌شود. بعد از حدود نصف دوره، اصل پرداختی به‌حدی رسیده که مشتری به اندازهٔ مبلغ وامش به بانک برگردانده؛ و چون بانک سپرده را هنوز دارد، عملاً دیگر هیچ سرمایه‌ای درگیر ندارد. درواقع، از آن نقطه به بعد، بانک دارد با پول خود مشتری کارمزد می‌گیرد. طبیعی است که نرخ بازدهی واقعی (بسیار) بیشتر از نرخ کارمزد باشد.
توجه به این نکته مفید است که دو نیرو جهت عکس هم قرار دارند: هرچه طور دورهٔ سررسید بیشتر باشد، پول بانک مدت‌زمان بیشتری درگیر می‌شود، درعوض کارمزد کمتری نیز از سرمایه مشتری دریافت می‌کند. پس انتظار داریم که در دوره‌های سررسید نسبتاً کوتاه و نسبتاً بزرگ، نرخ پایین باشد و در میانه یک ماکزیمم ایجاد شود.
حالا بیاییم دقیق‌تر ماجرا را بررسی کنیم. دو سناریو را لازم است درنظر بگیریم: اینکه ۴ درصد کارمزد سالانه را به صورت مرکب درنظر بگیریم یا نه، تفاوت ایجاد می‌کند. من هر دو فرض را خواهم داشت. با کمک ChatGPT کار رو جلو بردم. کد را می‌توانید از اینجا دانلود کنید. نتیجه در قالب نمودار به صورت زیر است:
حوصله ندارم دربارهٔ خودِ موضوع بحث یعنی قرض‌الحسنه چیزی بنویسم.