آیا از CPI متوسط بگیریم؟

آیا بانک مرکزی سرمان کلاه می‌گذارد؟ فرمول محاسبه تورم سالانه بانک مرکزی یک حافظه ۲۴ ماهه دارد. من همیشه به این موضوع آنگونه نگاه می‌کردم که بالاخره «تعریف تورم بانک مرکزی ایران» اینگونه است. تعریف هیچگاه غلط نیست. اما بدردنخور می‌شود. این حافظه بلند سری را نسبتاً هموار می‌کند. قبلاً در مطالعاتی که داشتم از واژه «تورم» استفاده نمی‌کردم، چون این واژه را برای این سری هموار شده رزرو می‌دانستم و من از CPI نرخ رشد می‌گرفتم تقریباً همیشه (تا جایی که حواسم بود) می‌نوشتم نرخ رشد CPI.

این بحث قدیمی آنروز در یک گروه تلگرامی از اساتیدم باز شد. من بحث آنها را باز می‌کنم و امیدوارم یک دو زاری هم روی آنها بیاندازم.

---

این مقدمه را گفتم تا بحث اصلی را مطرح کنم. اگر از شاخص قیمت مصرف‌کننده متوسط بگیریم، باید منتظر چه انتقادهایی باشیم؟ توجه کنید که بحث حول‌وحوش نامانایی این متغیر است. همچنین در فرمول بانک مرکزی عملاً این متوسط‌گیری را داریم.

ممکن است بحث شما در حوزه آمار توصیفی باشد. یعنی می‌خواهید شاخص قیمت مصرف‌کننده را توصیف کنید. در اینجا ابزار کار شما میانگین و واریانس و نمودارهای مختلف و غیره است. حتی ممکن است یک کلیپ برای توصیف داده‌های خود بسازید. تا جایی که می‌دانم در اینجا چهارچوب مشخصی نیست که بگوید فلان کار غلط است. اما احتمالاً از شما انتقاد کنند که این شاخص یا این نمودار، داده‌ها را به خوبی توصیف نمی‌کند. در رابطه با متوسط‌گیری از CPI در این بخش منتظر چنین کامنتی باشید. چون تقریباً همه هم‌نظر هستند که این متغیر روند دارد. وقتی داده‌های با نرخ ثابتی افزایش می‌یابد، بهترین توصیف برای آنها همان نرخ ثابت است. چرا باید گزارش این نرخ را کنار بگذارید و مثلاً متوسط این اعداد را گزارش کنید؟

بحث زمانی جذاب می‌شود که پا را از بحث آمار توصیفی فراتر می‌گذارید. در اولین قدم، شما باید CPI را به‌عنوان یک فرایند تصادفی تعریف کنید. فرایند تصادفی هم یک مجموعه متغیر تصادفی (بر یک فضای احتمال واحد هست) با یک نمایه. منظور از نمایه هم یک زیرمجموعه از اعداد حقیقی هست. مثلاً این زیرمجموعه می‌تواند مجموعه اعداد طبیعی باشد و شما به این نمایه زمان بگویید. مثلاً ۱ را ماه اول، ۲ را ماه دوم و الی آخر توصیف کنید. همچنین ممکن است ۱ را سال اول، ۲ را سال دوم و الی آخر توصیف کنید.

بد نیست مثالی که در آن گروه مطرح شد برای توجیه متوسط‌گیری اینجا بیاورم:

من یک کیلو پیاز خریده‌ام. در هر ماه به‌ترتیب به قیمت ۱۰۰، ۱۵۰ و ۱۰۰. کلاً چقدر هزینه کرده‌ام؟ ۳۵۰. چند کیلو؟ ۳ کیلو. به طور متوسط کیلویی چند؟ ۱۱۶٫۷

این مثال وقتی در چهارچوب آمار توصیفی بحث شود، متوسط شاخص مناسبی برای توصیف تمرکز است. هیچ ایرادی هم ندارد. به‌نظر نمی‌رسد داده‌ها روند داشته باشند که آن بحث مناسب نبودن میانگین مطرح شود. با این حال، فرایند تصادفی دانستن این سری به این معنی است که فقط با این سه عدد مواجه نیستیم. اعداد بیشتری وجود دارند و با شناختی که از CPI داریم، اتفاقاً با اضافه کردن اعداد بیشتر روند آنرا مشاهده خواهیم کرد.

در اینجا بحث نامانایی مطرح می‌شود و در صورتی که داده‌ها نامانا باشند، عملاً متوسط ثابتی وجود ندارد که بخواهید آنرا محاسبه و گزارش کنید. یعنی در بخش مدلسازی داده‌ها شما دچار مشکل می‌شوید.

فرض کنید نمایه فرایند تصادفی شما به‌صورت ماهانه تفسیر شده است. برای تبدیل آن به سالانه کار خیلی راحتی دارید. ۱۲-امین عدد را نگه دارید و ۱۱ عدد را دور بریزید. cpi ماهانه شما به cpi سالانه تغییر می‌کند. تورم سالانه یا هر چیز دیگری که لازم دارید را از این فرایند جدید محاسبه کنید.

خُب، اینجا بحث می‌شود که چرا ما ۱۱ مشاهده در هر سال را دور می‌ریزیم. حیف این سطح از اطلاعات نیست که ما از آنها استفاده نمی‌کنیم؟

اگر واریانس داده‌ها کم باشد، شما اطلاعات زیادی دور نمی‌ریزید. اگر واریانس زیاد باشد، پیشنهادی که مطرح می‌شود آن است که در کنار تورم، فرایند تصادفی دیگری تعریف کنید که منعکس‌کننده این تغییرات باشد. دلیلی ندارد سعی کنید با یک شاخص (یعنی تورم) دو نشان بزنید: هم بحث افزایش قیمت‌ها را با آن نشان دهید و هم بحث تغییرات آنها را. درک این برای من مشکل است.

همه اینها را گفتم تا به بحثی که برای خود من جالب هست برسیم. ارتباط بحث فوق به بحث نرخ رشد بلندمدتی که در یک پست دیگر بحث کردم.

در یکسال، یک متغیر می‌تواند به دو صورت رشد کند:

\[y(12)=y(0) (1+g_1)(1+g_2)\ldots (1+g_{12})\]

\[y(12)=y(0)e^{G_1}e^{G_2}\ldots e^{G_{12}}\]

دو فرمول نرخ رشد یک دوره‌ای را جایگذاری کنید تا منطق بحث را بیابید:

\[g_t=\frac{y(t)}{y(t-1)}-1\]

\[G_t=ln\frac{y(t)}{y(t-1)}\]

(توجه کنید که از این فرمول‌ها ضربدر ۱۰۰ حذف شده است)

همانند نرخ رشد بلندمدت بیاییم ۱۲ عددی که به‌عنوان نرخ رشد گزارش می‌شوند را در یک عدد خلاصه کنیم. می‌خواهیم با آن یک نرخ از \(y(0)\) به \(y(t)\) برسیم. پاسخ یکی از دو فرمول زیر است:

یک فرمول برای محاسبه نرخ رشد بلندمدت گسسته به صورت زیر است:

\[g^L=\sqrt[12]{\Pi_{t=1}^{12}(1+g_t)}-1=\sqrt[12]{\frac{y(12)}{y(0)}}-1\]

این را در فرمول نرخ‌های رشد گسسته جایگذاری کنید تا از منطقی بودنش مطمئن شوید. یک فرمول دیگر برای محاسبه نرخ رشد بلندمدت پیوسته به صورت زیر است:

\[G^L=\frac{G_1+G_2+\ldots+G_{12}}{12}=\frac{ln\frac{y(12)}{y(0)}}{12}\]

این را نیز در فرمول فوق جایگذاری کنید تا منطقش را متوجه شوید.

اینها متوسط نرخ رشد ماهانه است. اگر ضربدر ۱۲ کنیم، نرخ رشد سالانه محاسبه می‌شود. بررسی ویژگی‌های مثبت یا منفی فرمول تورم سالانه بانک مرکزی بماند برای یک پُست دیگر. با این حال، این فرمول با حافظه ۲۴ ماه احتمالاً با منطق‌هایی که در بالا بیان شد نخواند.